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Pik As Wahrscheinlichkeit

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Pik As Wahrscheinlichkeit

mit Pik: Wahrscheinlichkeit, dass Konsument k 2 K Produkt i auswählt, j: Index einer mit j 2 Ak. Zur Berechnung der Auswahlwahrscheinlichkeit Pik müssen die. Entdeckerpäckchen · PIK-Plakat · Forschermittel-Plakat · Kann das stimmen? Sie auf der Selbstlernplattform primakom: Zufall und Wahrscheinlichkeit fündig. Statistik Samuel Goldberg. Beispiel Bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß in einem gut gemischten Spiel von 52 Karten Pik-As und Pik-König beieinander. Panknin, M. C: Nein, aber wenn man wechselt, dann ja. Alle Kinder erkannten, dass das Spiel nicht fair ist und dass dies mit der ungleichen Verteilung von Gewinnaufgaben zusammenhängt. In ihren Erklärungen traten SteinlГ¤use alltagsbezogene Begriffe und Erklärungen auf:. Im Folgenden werden mögliche Lösungswege für die Bearbeitung der Click here dargestellt. Erfahrungen mit Wahrscheinlichkeitsaufgaben in der Grundschule. Beobachten Verstehen Gestalten.

Beim Ziehen der ersten Ziffer gibt es 4 Möglichkeiten. Nun ermittelt man die für einen Spieler günstigen Ergebnisse. Bei den für Spieler A günstigen Ergebnissen müssen beide Ziffern ungerade sein, sonst wäre das Produkt der Ziffern gerade.

Um den ersten Faktor zu besetzen, hat man zwei Möglichkeiten die Karten mit den Ziffern 1 und 3. Die Ziffer für den zweiten Faktor ist dann die noch Verbleibende.

Die anderen zehn Ausgänge sind günstig für Spieler B. Natürlich gibt es noch etliche weitere Wege, um diese Anzahlen zu bestimmen.

So kann man auch alle Möglichkeiten durch systematisches Aufschreiben finden. Darauf soll hier jedoch nicht näher eingegangen werden.

Im Interviewleitfaden findet sich eine Beschreibung vieler weiterer möglicher Vorgehensweisen:. Gewinnwahrscheinlichkeiten: Interviewleitfaden.

Alle Kinder, die in der Studie befragt wurden, fanden heraus, dass es viel mehr Aufgaben gibt, die günstig für Spieler A sind, als solche, die günstig für Spieler B sind.

Dies geschah meist über das mehr oder weniger systematische Aufschreiben aller Aufgaben, die gezogen werden können.

Oft begründeten die Kinder dies aber auch argumentativ. Weiter stellten alle Kinder einen Zusammenhang zu den Spielausgängen her.

Auch bei Christine und Rebecca aus dem Eingangsbeispiel war dies der Fall. Durch systematisches Aufschreiben aller möglichen Aufgaben haben sie erkannt, dass einer der beiden Spieler mehr günstige Versuchsausgänge hat als der andere.

Sie wissen, dass dies die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen beeinflusst, auch wenn sie die Begriffe Wahrscheinlichkeit oder wahrscheinlicher nicht benutzen.

Die beiden Mädchen gehen davon aus, dass bei mehrmaligem Spielen der Spieler, mit den geraden Ergebnissen, auch immer gewinnen würde.

Dabei vergessen sie, dass dieser Spieler nicht gar keine Möglichkeit zu gewinnen hat, sondern ebenfalls eine, wodurch er ebenfalls die Möglichkeit hat, zu gewinnen.

Im Eifer des Gesprächs kann dies aber auch aus Flüchtigkeit geschehen sein, denn in der Alltagssprache werden die Begriffe immer , wahrscheinlich und unmöglich oft nicht nach streng mathematischer Definition verwendet vgl.

Eichler , S. Im weiteren Interview wird letztlich deutlich, dass die beiden sich nur ungünstig ausgedrückt haben. Sie erläutern, dass natürlich auch Ergebnisse kommen könnten, die günstig für Spieler B sind, auch wenn dies eher selten vorkommen würde.

Die anderen interviewten Kinder argumentierten ähnlich wie Christine und Rebecca. Alle Kinder erkannten, dass das Spiel nicht fair ist und dass dies mit der ungleichen Verteilung von Gewinnaufgaben zusammenhängt.

Es wurde aber auch deutlich, dass es für die Kinder gar nicht so leicht ist, zu sagen, was dann beim Spielen tatsächlich passiert.

Dieser Sachverhalt soll nun näher betrachtet werden. Der eben beschriebene Gesichtspunkt ist ein wesentlicher Aspekt der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Angabe einer Wahrscheinlichkeit kann nicht das Eintreten eines Ereignisses vorhersagen. So ist beispielsweise bei viermaligem Ziehen aus vier Ziffernkarten mit den Ziffern 1 bis 4 nicht sicher, dass eine bestimmte dieser Ziffern auch wirklich einmal dabei ist.

Auch bei Glücksspielen, wie dem oben beschriebenen, muss die tatsächliche Gewinnverteilung der Spieler nicht der theoretisch berechneten Wahrscheinlichkeit entsprechen.

So kann es also auch passieren, dass Spieler 2 trotz sehr viel geringerer Gewinnwahrscheinlichkeit mehrfach gewinnt. Gerade die Erklärung solcher Phänomene bereitet Kindern häufig Schwierigkeiten, wie gerade am Beispiel von Christine und Rebecca angedeutet wurde.

Dass die Interpretation von tatsächlichen Spielausgängen vor allem solcher, die von den Erwartungen abweichen für viele Kinder so schwierig ist, wird unter anderem dadurch hervorgerufen, dass häufig Fehlvorstellungen zum Thema Zufall und Wahrscheinlichkeiten vorherrschen.

So ist es denkbar, dass verborgene Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Versuchen angenommen werden Kompensationsargument , also dass ein vorheriges Ereignis beeinflusst, welches Ereignis im Versuch danach wahrscheinlich ist.

Auch wird oft geringe Wahrscheinlichkeit mit Unmöglichkeit , sowie hohe Wahrscheinlichkeit mit Sicherheit verwechselt.

Bitte beachten Sie, dass teilweise nicht mehr die originale Gewinnregel, sondern eine von den Kindern modifizierte, Grundlage der Überlegungen war.

I: Und meinst du, dass du dann auch seltener gewinnst als ich? Wir haben ja beide grade zweimal gewonnen.

F: Also eigentlich müsste das ja so sein! Ist zwar komisch, aber es müsste eigentlich so sein, weil es gibt je viel mehr Aufgaben. I: Kann es denn trotzdem passieren, dass derjenige, der die ungeraden Zahlen hat gewinnt?

M: Das wird sehr selten vorkommen, weil es da ja nur zwei gibt. Aber sonst, das könnte gehen, aber dafür braucht man sehr viel Glück.

I: Wie kommt denn das, dass du jetzt zweimal gewonnen hast, obwohl das gerecht ist? Weil hier ist von jeder Zahl was drin und hier ist von der 2 gar keine drin.

I: Du hast vorhin gesagt, das ist trotzdem ungerecht. K: Ja, weil immer dieselbe Kombination gekommen ist und das ja eigentlich relativ unwahrscheinlich ist.

K: Bis 4 wären 2, 3 und 4, genau und über 4 wären 6 8 und Beides 3, das ist gerecht. I: Also müssen es immer gleich viele Möglichkeiten sein, damit das gerecht ist?

K: Ja, das hängt natürlich mit Glück zusammen. Es kann natürlich auch sein, dass jemand die ganze Zeit nacheinander Dann hat natürlich der eine gewonnen.

Aber eigentlich, es könnte gerecht sein, weil beide haben gleich gute Chancen. I: Du hast doch grade gesagt, das ist fair.

Wieso hast du denn jetzt 5 mal gewonnen und der Oliver gar nicht? J: Naja, weil die 3 und die 1 ziemlich oft vorkamen.

I: Und wieso kann das einfach so passieren? Ich dachte, das wär gerecht. J: Ja, das müsste man irgendwie besser mischen, glaub ich.

K: Das ist ziemlich ungerecht. I: Warum? K: Fünf gerade und eine ungerade. I: Und was bedeutet das, wenn man das spielt? K: Das bedeutet, die geraden gewinnen immer.

R: Ja, weil ähm, also hier sind ja also, dann kriegt der, der ungerade nimmt, kriegt ja immer nur einen Punkt.

K: Der hat nur eine Kombination. K: Da kannst du fünf Punkte dafür bekommen, wenn du Glück hast. I: Kann das denn trotzdem sein, dass der, der die ungeraden Zahlen hat, gewinnt?

K: Ja natürlich, aber das ist schon ziemlich unwahrscheinlich, weil dann müsste es R: Immer die gleiche Zahl sein.

K: Dass häufiger ähm andere Kombinationen kommen. I: Also unwahrscheinlich bedeutet? K: Jetzt hab ich gewonnen, aber das war nur Glück.

I: Nur Glück? R: Ja, weil es kommen nicht immer alle Zusammensetzungen von Zahlen, weil K: Es ist ja nicht garantiert, dass da jetzt immer nur alle diese Zusammensetzungen kommen.

Es kann ja auch sein, dass immer das Gleiche kommt. I: Also wenn ich zwölfmal ziehe, dann bekomme ich nicht alle diese Aufgaben?

R: Ne, nicht immer sicher, weil es kann ja auch sein, dass die Aufgaben doppelt sind. K: Es klappt nicht, also es ist halt nie so richtig gleich.

Es ist halt reines Glück. Im Folgenden werden mögliche Lösungswege für die Bearbeitung der Aufgabe dargestellt.

In der dargestellten Einstiegsaufgabe werden zwei verschiedene Ziehungen aus unterschiedlichen Urneninhalten dargestellt. Aufgabe der Kinder ist es, die Ziehungen den Inhalten zuzuordnen.

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um eine typische Aufgabe aus der Statistik. Gegeben sind zwei unbekannte Verteilungen von Perlen.

Aus den Daten zweier Ziehungen soll auf die Verteilung geschlossen werden. Es sind erst bei ausreichenden Wiederholungen Muster zu erkennen vgl.

Jedoch kann angenommen werden, dass Lisa aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen zieht und Paul aus dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen.

Dies zeichnet auch den besonderen Schwierigkeitsgrad der Aufgabe aus. Sie müssen im Verhältnis zur Gesamtmenge betrachtet werden.

Fabian: Paul hat aus dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen gezogen und Lisa aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen, denn Paul hat mehr von den blauen und nur ganz wenig von den roten Perlen.

Marvin: Lisa hat aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen, weil sie mehr blaue als rote Perlen hat.

Bei Paul könnte das genau so sein, weil er auch mehr blaue Perlen hat. Nina: Paul hat aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen, weil Lisa hat ja nur ganz wenige Rote gezogen und in dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen sind ja auch weniger rote Perlen drin.

Lena: Da Lisa im Verhältnis mehr rote Perlen hat, so muss sie aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen haben, auch wenn sie trotzdem mehr blaue Perlen hat.

Paul hat aus dem anderen Säckchen gezogen, weil er mehr blaue 40 als rote 10 Perlen hat. Vergleichen Sie die Begründungstypen miteinander und stellen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten heraus.

Welche Probleme verbergen sich hinter diesen Begründungstypen? Warum sind die Begründungen der Kinder nicht ausreichend? Verwenden die Kinder ihre Begriffserklärung aus Kapitel 2.

Woran kann das liegen? Wahrscheinlichkeiten: Probleme Begründungstypen. Insgesamt soll die vorliegende Seite deutlich machen, welche Rolle die prozessbezogene Kompetenz des Argumentierens im Kontext des Wahrscheinlichkeitsbegriffs spielen kann und dass man den Schülern genau zuhören muss, um zu verstehen, wie sie argumentieren.

So gingen die Kinder sehr unterschiedlich dabei vor, ihre Entscheidungen, warum wer aus welchem Säckchen gezogen hat, zu begründen.

Festzuhalten ist jedoch, dass die meisten Versuche auf der Ebene der absoluten Häufigkeiten unternommen wurden und nur wenige Kinder den Vergleich zur Gesamtmenge heranzogen.

Daher steht im Einstiegsbeispiel auch Janosch als Vertreter für viele Kinder, die ihre Entscheidung anhand des absoluten Vergleichs einer Perlenfarbe begründen.

Weiterhin konnten die Beispiele in Abschnitt 2. Weitere Anregungen zur Förderung prozessbezogener Kompetenzen im Kontext des Wahrscheinlichkeitsbegriffs finden Sie in den folgenden Texten:.

Dehn, C. Was ist wahrscheinlicher? Glücksrad- und Urnenaufgaben für die Grundschule. Kurz, A. Pfeil, C. Wer hat aus welchem Säckchen gezogen?

Notieren Sie die wichtigsten Merkmale Ihrer Begründung. Diskutieren Sie Ihre Begründungen ggf. Beziehen Sie auch Janoschs Begründung mit ein.

Eigenaktivität Vergleichen Sie die Begründungstypen miteinander und stellen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten heraus.

Wo lassen sich Ihre Begründungen und die von Janosch einordnen Anfangsbeispiel? Glücksrad- und Urnenaufgabe für die Grundschule. Eichler, A.

Leitideen Daten und Zufall. Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik. Fetzer, M. Wie argumentieren Grundschulkinder im Mathematikunterricht?

Eine argumentations-theoretische Perspektive. Hahn, H. Erfahrungen mit Wahrscheinlichkeitsaufgaben in der Grundschule. Krummheuer, G.

Der Alltag im Mathematikunterricht. Beobachten Verstehen Gestalten. München: Spektrum. Frechen: Ritterbach.

Neubert, B. Zufall und Wahrscheinlichkeit in der Grundschule. Panknin, M. Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit und Statistik für die Klassen Bochum: Ferdinand Kamp.

Das würde dann folgendermaßen gehen: Die Wahrscheinlichkeit, eine Cola oder dann den Pik-König – ohne dass das Ass zurückgelegt wurde – zu ziehen. mit Pik: Wahrscheinlichkeit, dass Konsument k 2 K Produkt i auswählt, j: Index einer mit j 2 Ak. Zur Berechnung der Auswahlwahrscheinlichkeit Pik müssen die. Statistik Samuel Goldberg. Beispiel Bestimme die Wahrscheinlichkeit, daß in einem gut gemischten Spiel von 52 Karten Pik-As und Pik-König beieinander. Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- man in der Verteilungstabelle die Einzelwahrscheinlichkeiten Pik zeilen - bzw.

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Hierzu finden Sie in der Unterrichtsplanung eine konkrete Umsetzungsmöglichkeit sowie die dort vorgestellten Demo-Materialien als Kopiervorlagen.

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R: Ja, weil ähm, also hier sind ja also, dann kriegt der, der ungerade nimmt, kriegt ja immer nur einen Punkt.

K: Der hat nur eine Kombination. K: Da kannst du fünf Punkte dafür bekommen, wenn du Glück hast. I: Kann das denn trotzdem sein, dass der, der die ungeraden Zahlen hat, gewinnt?

K: Ja natürlich, aber das ist schon ziemlich unwahrscheinlich, weil dann müsste es R: Immer die gleiche Zahl sein. K: Dass häufiger ähm andere Kombinationen kommen.

I: Also unwahrscheinlich bedeutet? K: Jetzt hab ich gewonnen, aber das war nur Glück. I: Nur Glück?

R: Ja, weil es kommen nicht immer alle Zusammensetzungen von Zahlen, weil K: Es ist ja nicht garantiert, dass da jetzt immer nur alle diese Zusammensetzungen kommen.

Es kann ja auch sein, dass immer das Gleiche kommt. I: Also wenn ich zwölfmal ziehe, dann bekomme ich nicht alle diese Aufgaben?

R: Ne, nicht immer sicher, weil es kann ja auch sein, dass die Aufgaben doppelt sind. K: Es klappt nicht, also es ist halt nie so richtig gleich.

Es ist halt reines Glück. Es ist nur jetzt gerecht und vorher nicht. Hier finden Sie eine exemplarische Analyse:.

Gewinnwahrscheinlichkeiten: Analyseseite. Gerade der Anlass eines Glücksspiels eignet sich gut, um Kinder dazu zu bringen, über Wahrscheinlichkeiten nachzudenken.

Sie sind dabei intrinsisch, also aus der Sache heraus, motiviert vgl. In den Interviews wurde dies am Ende oftmals von den Kindern bekundet, ohne dass sie danach gefragt wurden.

Ebenso hat sich hier gezeigt, dass die Kinder sehr unterschiedlich über Wahrscheinlichkeit denken. Manchmal denken sie zu verschieden Zeitpunkten sogar selbst anders als kurz zuvor.

Nur so ist es möglich, Fehlvorstellungen zu erkennen und adäquat auf sie zu reagieren. Dies ist wichtig, da die Aneignung stochastischer Vorstellungen erschwert werden kann, wenn Fehlvorstellungen unhinterfragt und unreflektiert bleiben vgl.

Prediger Die dargestellten Interviewauszüge sollten lediglich als Beispiele dienen. Es kann auf Grundlage der zehn Interviews kein Anspruch auf Vollständigkeit bzgl.

Spielregeln des Spiels "Ziffernkarten ziehen". Ziffernkarten Interviewleitfaden. Fehlvorstellungen resultieren häufig aus Heuristiken, anhand derer Menschen sich Meinungen über Wahrscheinlichkeiten bilden.

Eigenaktivität Betrachten Sie die nachfolgenden Transkripte. Wie erklären sich die Kinder die unerwarteten Spielausgänge bzw.

Welche Fehlvorstellungen könnten die Kinder ggf. Wie könnte man solche Situationen nutzen, wenn sie im Unterricht auftreten? Flora normale Gewinnregel I: Und meinst du, dass du dann auch seltener gewinnst als ich?

Sebastian modifizierter Kartensatz: 5 dazu, 4 weg, normale Gewinnregel I: Wie kommt denn das, dass du jetzt zweimal gewonnen hast, obwohl das gerecht ist?

Karolin 2 modifizierte Gewinnregel: Spieler 1 gewinnt bei 1, 2, 3 und 4, Spieler 2 bei Zahlen ab 5 K: Bis 4 wären 2, 3 und 4, genau und über 4 wären 6 8 und Jonas modifizierter Kartensatz: 5 dazu, 2 weg, normale Gewinnregel I: Du hast doch grade gesagt, das ist fair.

Eichler, K. Gegeben sind zwei unbekannte Verteilungen von Perlen. Aus den Daten zweier Ziehungen soll auf die Verteilung geschlossen werden.

Es sind erst bei ausreichenden Wiederholungen Muster zu erkennen vgl. Jedoch kann angenommen werden, dass Lisa aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen zieht und Paul aus dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen.

Dies zeichnet auch den besonderen Schwierigkeitsgrad der Aufgabe aus. Sie müssen im Verhältnis zur Gesamtmenge betrachtet werden.

Fabian: Paul hat aus dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen gezogen und Lisa aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen, denn Paul hat mehr von den blauen und nur ganz wenig von den roten Perlen.

Marvin: Lisa hat aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen, weil sie mehr blaue als rote Perlen hat.

Bei Paul könnte das genau so sein, weil er auch mehr blaue Perlen hat. Nina: Paul hat aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen, weil Lisa hat ja nur ganz wenige Rote gezogen und in dem Säckchen mit 20 roten und 80 blauen Perlen sind ja auch weniger rote Perlen drin.

Lena: Da Lisa im Verhältnis mehr rote Perlen hat, so muss sie aus dem Säckchen mit 40 roten und 60 blauen Perlen gezogen haben, auch wenn sie trotzdem mehr blaue Perlen hat.

Paul hat aus dem anderen Säckchen gezogen, weil er mehr blaue 40 als rote 10 Perlen hat. Vergleichen Sie die Begründungstypen miteinander und stellen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten heraus.

Welche Probleme verbergen sich hinter diesen Begründungstypen? Warum sind die Begründungen der Kinder nicht ausreichend?

Verwenden die Kinder ihre Begriffserklärung aus Kapitel 2. Woran kann das liegen? Wahrscheinlichkeiten: Probleme Begründungstypen.

Insgesamt soll die vorliegende Seite deutlich machen, welche Rolle die prozessbezogene Kompetenz des Argumentierens im Kontext des Wahrscheinlichkeitsbegriffs spielen kann und dass man den Schülern genau zuhören muss, um zu verstehen, wie sie argumentieren.

So gingen die Kinder sehr unterschiedlich dabei vor, ihre Entscheidungen, warum wer aus welchem Säckchen gezogen hat, zu begründen.

Festzuhalten ist jedoch, dass die meisten Versuche auf der Ebene der absoluten Häufigkeiten unternommen wurden und nur wenige Kinder den Vergleich zur Gesamtmenge heranzogen.

Daher steht im Einstiegsbeispiel auch Janosch als Vertreter für viele Kinder, die ihre Entscheidung anhand des absoluten Vergleichs einer Perlenfarbe begründen.

Weiterhin konnten die Beispiele in Abschnitt 2. Weitere Anregungen zur Förderung prozessbezogener Kompetenzen im Kontext des Wahrscheinlichkeitsbegriffs finden Sie in den folgenden Texten:.

Dehn, C. Was ist wahrscheinlicher? Glücksrad- und Urnenaufgaben für die Grundschule. Kurz, A. Pfeil, C. Wer hat aus welchem Säckchen gezogen?

Notieren Sie die wichtigsten Merkmale Ihrer Begründung. Diskutieren Sie Ihre Begründungen ggf. Beziehen Sie auch Janoschs Begründung mit ein.

Eigenaktivität Vergleichen Sie die Begründungstypen miteinander und stellen Sie Unterschiede und Gemeinsamkeiten heraus.

Wo lassen sich Ihre Begründungen und die von Janosch einordnen Anfangsbeispiel? Glücksrad- und Urnenaufgabe für die Grundschule.

Eichler, A. Leitideen Daten und Zufall. Von konkreten Beispielen zur Didaktik der Stochastik.

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